Matriz & Determinantes

1. O QUE É MATRIZ?
2. CURIOSIDADES EM TORNO DO NOME MATRIZ
• O PAI DO NOME MATRIZ
• POR QUE SYLVESTER DEU O NOME MATRIZ AS MATRIZES?
3. SURGIMENTO DOS PRIMEIROS RESULTADOS DA TEORIA DAS MATRIZES
4. NOTAÇÕES E DEFINIÇÕES
5. REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES
6. DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES
7. EXEMPLOS DE MATRIZES
8. MATRIZES IGUAIS
9. SOMA DE MATRIZES E SUAS PROPRIEDADES
10. MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR MATRIZ E SUAS PROPRIEDADES
11. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
12. MATRIZES SIMÉTRICAS E ANTI-SIMÉTRICAS E SUAS PROPRIEDADES
13. PROPRIEDADES
14.REALAÇÃO ENTRE MATRIZ E SISTEMA LINEAR
15. MATRIZES – EXEMPLOS
16.SITES

O QUE É MATRIZ?

Na matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.
Surgimento da Teoria das matrizes

Curiosidades em torno do nome matriz

O PAI DO NOME MATRIZ
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.

POR QUE SYLVESTER DEU O NOME MATRIZ AS MATRIZES?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.

Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes

Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:
q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x
b c y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.

NOTAÇÕES E DEFINIÇÕES

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m(i) linhas e n(j) colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j].
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R (linguagem de programação), etc) ou a partir de 0 (C (linguagem de programação) e seus dialetos). Por exemplo, o elemento A(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES

Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:

DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES

• Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m × n.
• Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
• Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
• Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
• Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
• Diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
• Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
• Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
• Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
• Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
• Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
• Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

EXEMPLOS DE MATRIZES
Matriz 4x4 de números reais:
12 -6 7 18
-23 -24 0 0
0 0 5 0
0 0 0 9
Matriz 4x4 de números complexos:
12 -6+i 7 i
-i -24 0 0
0 0 5+i 5-i
0 0 0 9
Matriz nula com duas linhas e duas colunas:
0 0
0 0
Matriz nula com três linhas e duas colunas:
0 0
0 0
0 0
Matriz identidade com três linhas e três colunas:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
23 0 0 0
0 -56 0 0
0 0 0 0
0 0 0 100

MATRIZES IGUAIS

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:
a(i,j) = b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:
1 2
3 4
= x-1 y-1
x+y x2


SOMA DE MATRIZES E SUAS PROPRIEDADES
A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:
c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
-23 10
7 9
+ 10 5
8 9
= -13 15
15 18

Propriedades da soma de matrizes
A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
(A + B) + C = A + (B + C)
A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:
A + B = B + A
A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:
0 + A = A
A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:
A + (-A) = 0

MULTIPLICAÇÃO DE ESCALAR POR MATRIZ E SUAS PROPRIEDADES
Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:
c(i,j) = k. a(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:
-4 -2 10
7 9
= -8 -40
28 36

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz
E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:
1.A = A
E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:
0.A = 0
E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:
k (A+B) = k A + k B
E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:
(p + q) A = p A + q A
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:
c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)
para todo par (u,v) em Smr.
Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:
1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.
Assim:
c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43
Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
× b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
b41 b42 b43 b44
= c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34
c41 c42 c43 c44

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:
M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:
1 2 3
2 4 6
3 6 9
× 1 2
3 5
7 9

M2: Distributividade da soma à direita
A (B+C) = A B + A C
M3: Distributividade da soma à esquerda
(A + B) C = A C + B C
M4: Associatividade
A (B C) = (A B) C
M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:
0 1
0 0
× 0 2
0 0
= 0 0
0 0

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:
0 1
0 0
× 0 5
0 0
= 0 2
0 0
× 0 5
0 0

mas as matrizes A e B são diferentes.
MATRIZES COM PROPRIEDADES DIFERENTES
1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:
Ak = 0
2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:
Ak+1= A
3. Uma matriz A é idempotente, se:
A2 = A
4. As matrizes A e B são comutativas, se:
A B = B A
5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:
A B = - B A
6. A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.
Id A = A
7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:
A B = Id e B A = Id
A TRASPOSTA DE UMA MATRIZ E SUAS PROPRIEDADES
Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz
At = [a(j,i)]
e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.

Propriedades das matrizes transpostas
T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.
(At)t = A
T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.
(kA)t = k (At)
T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.
(A + B)t = At + Bt
T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.
(A B)t = Bt At

MATRIZES SIMÉTRICAS E ANTI-SIMÉTRICAS E SUAS PROPRIEDADES
Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
At = A
Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:
At = -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas
S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.
S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At é simétrica.
S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.
S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:
S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A - At)


PROPRIEDADES - DETERMINANTE
O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.
Característica
A característica de uma matriz é um inteiro não negativo, que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes[1]. De acordo com o teorema de Kronecker, temos que a característica de uma matriz B é C se e somente se:
• Existe pelo menos uma submatriz c*c cujo determinante é diferente de zero.
• Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.
Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica C quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante C não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.
Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz c * c com determinante diferente de zero. De acordo com a definição .
PROPRIEDADES QUE NÃO SÃO VALIDAS

RELAÇÃO ENTRE MATRIZ E SISTEMA LINEAR
Podemos escrever e resolver um sistema linear utilizando a forma matricial de um sistema. Observe o exemplo abaixo e veja como transformamos um sistema em uma matriz.

Dado o sistema linear , ele pode ser transformado em uma matriz, da seguinte forma:

A matriz é uma matriz incompleta do sistema linear. E a matriz

é a matriz completa do sistema linear, pois inserimos os dois membros das equações na matriz. E a forma matricial desse sistema será representada da seguinte forma:


Se resolvermos a multiplicação proposta pela forma matricial, chegaremos ao sistema linear.

De uma maneira geral (sistema linear qualquer) podemos representar um sistema linear de m equações e n incógnitas da seguinte maneira:

É a matriz incompleta do sistema linear.

É a matriz completa do sistema linear.

Forma matricial do sistema linear.

OBSERVAÇÃO: caso a matriz formada seja quadrada o seu determinante será o determinante do sistema e o seu valor será maior que zero.

SITES
• http://www.colegioweb.com.br/matematica/propriedades-que-nao-valem
• http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/matrizes.htm
• http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
• www.algosobre.com.br/.../matrizes-e-determinantes-i.html
• www.revcom.portcom.intercom.org.br/index.../MATRIZes/index
• www.funepe.edu.br:91/funepe/professores/.../57/MATRIZES.ppt
• www.mat.ufrgs.br/~portosil/minmatr2.html

ETEC de Presidente Venceslau - NOVEMBRO/2009
Alunos: Matheus Norberto F. nº23
Tamirez F. Tortola de O. nº27
Beatriz Helena S. S. nº03
Série: 2ºB