Gênios Da Matemática: Matriz - (Escrito por Fernanda & Katlyn)

• Definição

No século XVII o desenvolvimento da produção e do comércio colocou ao homem uma grande necessidade de trabalhar com tabelas numéricas.
O matemático inglês Arthur Cayley (1821 a 1895) aprofundou os estudos desses tipos de tabelas, e foi um dos primeiros a estudar e aplicar as matrizes em estruturas algébricas. Isto permitiu um grande desenvolvimento da Matemática.
Contudo, foram os chineses os grandes inventores das matrizes. Uma importante obra chinesa, escrita por volta de 250 a.C., intitulada "Nove Capítulos sobre a Arte Matemática", nos mostra que os chineses, na solução de sistemas de equações, já utilizavam a idéia de matrizes.

Qualquer sistema fica perfeitamente definido a partir dos coeficientes das incógnitas e de seus termos independentes. Por isso, omitindo as incógnitas, ficamos com um esqueleto numérico. Observe o exemplo:
Chamamos de matriz numérica a uma tabela de números, isto é, um conjunto de números colocados em linhas (horizontais) e em colunas (verticais). Entretanto, nem sempre ela será formada por números, podendo aparecer com funções ou outras expressões matemáticas.
Em geral, denominaremos matriz de ordem mxn (lê-se m por n) a uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. As tabelas de números são escritas entre parênteses e são designadas por letras maiúsculas.

A tabela abaixo, por exemplo, representa uma matriz qualquer de ordem 3x4.

Podemos também expressar a matriz A, acima, de forma abreviada com a seguinte simbologia:

Como vimos: i indica a linha e j assinala a coluna.

• Matrizes Linha e Coluna
Quando uma matriz tem apenas uma linha a chamamos de matriz linha. Sua ordem será 1xn.

Quando uma matriz tem apenas uma coluna, denomina-se matriz coluna. Sua ordem será mx1, como indica a tabela abaixo.

• Matriz Nula

Como as matrizes são tabelas de números, podemos nos deparar com uma matriz na qual todos os componentes sejam nulos. Elas são conhecidas como matrizes nulas, por exemplo:

• Matriz Transposta
Diz-se que uma matriz é a transposta de A quando as linhas da transposta são as colunas de A. A matriz transposta de A é representada por A' ou At. Observe o seguinte exemplo:

• Matriz Quadrada
Pode ocorrer também que a matriz tenha um mesmo número de linhas e colunas. Estas são chamadas de matrizes quadradas de ordem n, em vez de matrizes de ordem nxn.
Nessas matrizes, os elementos da forma aij, como a11, a22, a33 etc., formam o que se conhece como diagonal principal.
Assim, nas matrizes quadradas, abaixo, suas diagonais principais serão formadas, respectivamente, pelos elementos 7; 5, 3; 5, 9, 3; e 4, 1, 4, 3:

Dentro das matrizes quadradas cabe destacar aquelas que possuem todos os elementos nulos, com exceção dos correspondentes à diagonal principal. São conhecidas como matrizes diagonais.

• Matriz Identidade
Numa matriz diagonal, quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, essa matriz receberá o nome de matriz identidade. Exemplificamos esse caso, em seguida, com matrizes quadradas de ordem 4.

• Matriz Oposta
Oposto de um número é o seu simétrico, ou seja, o oposto de 5 é -5, o posto de -2 é 2. Nesse mesmo sentido encontraremos o oposto de uma matriz.

Dada uma matriz B = (bij) m x n, a sua matriz oposta será representada por –B. Isso significa que para encontrar o oposto de uma matriz basta tornar todos os elementos da matriz em seus opostos. Veja como:

• Matriz Transposta
Encontrar a Matriz Transposta de uma matriz qualquer é o mesmo que trocar as linhas pelas colunas. Dada uma matriz D de ordem m x n, a matriz transposta de D será representada por Dt de ordem n x m.,

• Operações com matrizes
Soma de matrizes
Dadas as matrizes A e B de mesma ordem, definimos a operação soma de matrizes, A + B, como a nova matriz C que tem como elemento cij, na posição ij, ou a soma dos elementos aij + bij. Em outras palavras, todos os elementos da nova matriz C são obtidos aplicando-se a seguinte expressão:

cij = aij + bij

Exemplo:

A soma de matrizes possui, assim como a soma de números, as seguintes propriedades:
Propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
Elemento neutro: é a matriz nula (0) correspondente.
Elemento oposto: a matriz A tem por oposta A onde, se a A = (aij), então A = ( aij).
• Adição

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.

Exemplos:
Dada a matriz A=

3 x 3 e matriz B=

3 x 3,
se somarmos a A + B, teremos:

Observe os elementos em destaques:

a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o
c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32. Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

• Subtração
As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.
Assim temos:
Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a21 – b21 = c21.

Exemplos:
Dada a matriz A =

3 x 3 e B =

3 x 3,
se subtrairmos A – B, teremos:

Observe os elementos destacados:

Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.
Uma planilha de computador nada mais é do que uma matriz.

• Multiplicação de Matriz
Aplicações como essas são comuns e necessárias. Essa necessidade fez com que os matemáticos definissem esse processo com uma operação entre as matrizes: a multiplicação.
Assim, chamando a primeira planilha de matriz A e a segunda de matriz B, a planilha-resultado, matriz C, é o resultado da multiplicação de A por B.
A multiplicação de matrizes só pode ser efetuada se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Observe que a matriz-produto tem por ordem o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
O produto de uma matriz A de ordem mxn por uma matriz B de ordem nxp é uma matriz C, de ordem mxp, em que o elemento da linha cij é a soma dos produtos da linha i de A pelos elementos correspondentes da coluna j de B.
Exemplo:
Dadas as matrizes A, de ordem 2 X 3, e B, de ordem 3 X 3, buscamos a matriz produto A X B, de ordem 2 X 3.

• Matriz de uma relação linear
Considerando o que se expôs sobre o produto de matrizes, temos novas perspectivas para expressar qualquer sistema de equações lineares. Observe como se expressa o seguinte sistema de equações por uma igualdade de matrizes:

Assim, se denominamos A à matriz com os coeficientes; x à matriz coluna das incógnitas; e B à matriz coluna integrada pelos termos independentes, o sistema de equações lineares anterior equivale a uma simples equação entre matrizes da forma: A X x = B

• Matriz Inversa
Sabemos calcular o inverso de um número real e o inverso de uma matriz segue o mesmo conceito. Quando queremos encontrar o inverso de um número real temos que nos orientar pela seguinte definição:

Sendo t e g dois números reais, t será inverso de g, se somente se, t . g ou g . t for igual a 1.

Quando um número real é inverso do outro, indicamos o inverso com um expoente -1:
1 / 5 = 5-1, dizemos que 1 /5 é o inverso de 5, pois se multiplicarmos 1 / 5 . 5 = 1

Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras.

Dada duas matrizes quadradas C e D, C será inversa de D se, somente se, C . D ou D . C for igual à In. Portanto, dizemos que
C = D-1 ou D = C-1.

Exemplo 1:
Verifique se a matriz A =